奇妙的几何世界里，有一个有趣又充满挑战的问题：怎样才能把三维空间里的曲面，完美地摊平到二维平面上呢？这个看似不起眼的小问题，实则蕴含着几何与拓扑学奥秘。

01

剥一个橘子，再把果皮压平

首先，请大家留意一下手边，是不是恰好有一个圆润饱满的橘子。

如果没有（那就去找一个橘子……哈哈哈开个玩笑活跃下气氛），就在脑海中想象有这样一个橘子。我们在橘子的表面画上一些喜欢的符号，比如⭐，比如，也比如卡皮巴拉……

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（对不起，扯远了）

言归正传。完成符号绘制后，我们试着尽可能完整地剥开橘子皮，将其平摊放在桌面上。原本处于立体橘子表面的那些符号，随着橘子皮的摊平，也一同被展现在了桌面这个二维平面上。因为橘子皮是不可延展的，所以得到的橘子皮必定是“撕裂”的。

如果把橘子绘制成地球仪，剥皮、摊平后，就会得到一张“撕裂”版的世界地图。摊平橘子皮的过程跟制作地图的过程类似，由于地球和地球仪都是三维的球体，强行摊平必定会导致“撕裂”。那么，有没有什么办法能够把橘子皮完美摊平呢？

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图片来源于网络

02

给地球“拉个皮”

摊平橘子皮的问题，实际上是三维到二维转换的问题。如果橘子皮富有弹性，那么只要轻轻一拉，就能够实现完美的“摊平”，绘制一张完美的地图也会变得轻而易举（很显然这是不可能的）。

为了解决这个问题，智慧的科学家们想到从数学的角度出发，寻找一种三维曲面中的点与二维平面上的点的一一对应关系，换个角度“摊平”橘子皮、绘制“完美”地图。这种三维到二维的转换关系，被称为展平映射。

假设地球的内部有一束光，它的外面包围着一个圆柱面。随着光的照射，光线将地球表面的每一个点精准地投射到圆柱面上。那么当圆柱面展开后，那些原本在球面上的点，在展开面上都会有一个对应的全新位置。

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图片来源于网络

换句话说，这个过程类似于“拨开橘子皮”、“把橘子皮摊平”的过程。就像给地球做了一场“拉皮手术”，把三维的地球延展到二维矩形面上来。

墨卡托投影法图解。图片来源：cdn.hujiulong.com/geohey/blog/mercator/play.html

这种绘制世界地图的方法被称为“墨卡托投影法”，是地图投影的一种。地图投影泛指将地球表面展平以便绘制地图方法，其核心就是将球面上的点转换为平面上的点。由于投影方式的不同，所形成的世界地图“长相”也大相径庭。

圆锥投影

方位投影

伪圆柱投影

折衷投影

不同地球投影法下得到的世界地图

虽然投影的方式各不相同，但有一点是统一的：将球体投影到平面上，球面必然会有一定程度的变形。映射是不完美的，是有扭曲的。以墨卡托投影法为例，它牺牲了面积大小，保留了角度和形状（也称为共形映射）。这就导致了在这种投影下得到的地图，在赤道一圈不会发生扭曲，而越靠近极点的地方面积扭曲就越大。

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通过墨卡托投影法得到的世界地图，越远离赤道形变越大。图片来源：Tomas A, Eric H and Naty H. Real-Time Rendering. A K Peters/CRC Press

举个例子，从地图上看格陵兰岛的面积跟非洲差不多，但实际上，非洲的面积是格陵兰岛的14倍。

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图片来源于网络

03

不规则曲面的“拉皮”

在医学领域，也有着类似的应用。比如通过CT扫描获取腹部的断层图像，然后运用多视角几何的方法，精心重建出三维的直肠曲面。为了让医生能够更清晰地观察，做出准确的诊断，还需要将这个直肠曲面平展到平面上。

图片来源：计算共形几何（理论篇）；作者：顾险峰、丘成桐；出版社：高等教育出版社

但如果CT扫描后的直肠曲面展平后，观察到的病灶变形严重的话（就像上面提到非洲和格陵兰岛那样），例如肿瘤块在映射过程中被放大或缩小，这样的检查图像是无法帮助医生做出准确判断的。因此，尽可能地减小扭曲程度是三维曲面展开的重要目标。映射后的平面图，需要尽可能的保留三维曲面所蕴含的细节信息，避免造成失真。

为了解决这一问题，这里需要引入一个计算机科学里的概念。大家是否见过凿冰球的场景？晶莹剔透的冰块在调酒师的手中不停被敲掉棱角，最终得到一颗光滑的冰球。

图片来源于网络

这里我们强制设定，每一次敲击形成的切面都是三角形的。那么在整个过程中，冰球就可以看成是无数个三角形组成的多面体。只要敲击的次数足够多，所形成的切面三角形足够多，这个多面体就可以近似为一个球体。

同样的，我们试着像凿冰球一样，把复杂曲面的表面分割成许多的三角形。只要这些三角形切得足够小、无限的小，以至于每个三角形的弯曲程度小到可以忽略不计，就可以将每一个三角形看成平面。这样由三角形组成的网格在计算机中被称为三角网格（Mesh）。为了方便解答，这里对“大卫头”进行了简化：

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左图为三角网格下的“大卫头”；右图为简化版“大卫头”的侧面和底面

要使映射的效果比较好，需满足以下约束条件：

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映射之后内部三角形的边不能相交；

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图片来源：Games301

02

映射后三角形的定向不能翻转，否则会有错乱的情况；

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图片来源：Games301

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映射后的边界不能相交。

图片来源：Games301

04

分块展平，逐个击破

在三角网格的设定下，我们希望对三角网格进行形变最小化、且能够保留三维细节信息的平面展开。

想象一下，我们给“大卫头”三角网格模型上贴一大块可以任意伸缩、受力均匀的橡胶皮。在对这块橡胶皮进行拉伸时，每一个网格之间都会对力进行传导，且对于这块橡胶皮内部的任意一点，作用在它身上的力是均衡的。

独立来看任意一块三角形区域，当我们固定它的三边，从外部向这块橡胶皮的三条边施力时，它内部的点就会移动到使其受力均匀的位置。

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将“大卫头”按照特定的形状范围（圆形）进行二维展开

我们再进一步假设，将整个“大卫头”橡胶皮的所有外边界固定到一个圆周上（也可以固定成方形、矩形、平行四边形……，as you wish）。随着橡胶皮的拉伸，其内部的顶点V将会“乖乖”移至与它相邻的那些定点所构成区域的中心区域，这个位置就叫做质心，如下图所示。

五个三角形网格均匀受力后，其内部顶点v∈Vint会移动至质心

通过每块三角形橡胶皮之间作用力的相互传导，这块三维的不规则橡胶皮可以被“均匀”地拉伸成了二维平面。在这场“拉皮手术”中被摊平的橡胶皮，就是对“大卫头”这一不规则模型的曲面展开。在计算机领域，三角网格展平的算法被称为“网格参数化算法”（Mesh Parameterization）。

使用C++ Eigen库对稀疏线性方程组进行求解得到的展平结果

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网格参数化算法的推导过程

这里我们在上述展平结果的表面贴上一层规则的棋盘格，再复原到“大卫头”上，直观地感受下三角形们不同的扭曲。同时，这也是网格参数化算法的一个实际应用案例——纹理贴图。

均匀的网格在不规则曲面上形成不同程度的扭曲

纹理贴图是一种计算机图形学技术，设计师可以在二维空间进行模拟物体的表面纹理与细节信息的设计，再通过计算机手段将其投影到3D模型表面，从而赋予模型/角色更有深度的视觉体验。在游戏相关的领域中，纹理贴图经常被用来对3D场景和对象进行上色及纹理填充等。

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立方体例子。图片来源：cnblogs.com/zhaoqingqing/p/18185486

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3D模型纹理贴图例子。图片来源：cnblogs.com/mvrlink/p/17916091.html

从一颗橘子到给地球“拉个皮”，从三角网格到网格参数化算法，这只是三维到二维在计算机领域的一种解决方案。而在实际科研工作中，科学家们对三维到二维的研究还在如火如荼进行中，值得我们想象和探索的空间还有很多很多。

来源：松山湖材料实验室

编辑：千里雁啼

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